Math Chapter 1 Exercise 1.1 Class 12th

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गणित
पाठ-1 संबंध एवं फलन
प्रश्नावली 1.1

प्रश्न 1:
निर्धारित कीजिए कि क्या निम्नलिखित संबंधों में से प्रत्येक स्वतुल्य, सममित तथा संक्रामक हैं:

( i ) समुच्चय A = { 1, 2, 3, …, 13, 14 } में संबंध R,
इस प्रकार परिभाषित है कि R = { ( x, y ) : 3x – y = 0 }

उत्तर:
R = { ( 1, 3 ) , ( 2, 6 ) , ( 3, 9 ) , ( 4, 12 ) }

( 1, 1 ) , ( 2, 2 ) … ( 14, 14 ) ∉ R
अतः R स्वतुल्य नहीं है।

( 1, 3 ) ∈ R लेकिन ( 3, 1 ) ∉ R
अतः R सममित नहीं है।

( 1, 3 ) तथा ( 3, 9 ) ∈ R लेकिन ( 1, 9 ) ∉ R
अतः R संक्रामक नहीं है।

video explanation:

( ii ) प्राकृत संख्याओं के समुच्चय N में
R = { ( x, y ) : y = x + 5 तथा x < 4 } द्वारा परिभाषित संबंध R.

उत्तर:
R = { ( 1, 6 ) , ( 2, 7 ) , ( 3, 8 ) }

(1, 1), (2, 2), …, (∞, ∞) ∈ R
अतः R स्वतुल्य नहीं है।

(1, 6) ∈ R लेकिन (6, 1) ∉ R
अतः R सममित नहीं है।

R के किसी भी अवयव (a, b) के लिए (b, c) नहीं है।
अतः R संक्रामक है।

video explanation:

( iii ) समुच्चय A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } में R = { ( x, y ) : y भाज्य है x से ) द्वारा परिभाषित संबंध R है।

उत्तर:
R = { (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 3), (3, 6), (4, 4), (5, 5), (6, 6) }

(1, 1), (2, 2), …, (6, 6) ∈ R
अतः R स्वतुल्य है।

( 1, 2 ) ∈ R लेकिन ( 2, 1) ∉ R
अतः R सममित नहीं है।

( 1, 2 ) तथा ( 2, 4 ) ∈ R ⇒( 1, 4 ) ∈ R
( 1, 3 ) तथा ( 3, 6 ) ∈ R ⇒( 1, 6 ) ∈ R
अतः R संक्रामक है।

video explanation:

( iv ) समस्त पूर्णांकों के समुच्चय Z में R = { ( x, y ) : x – y एक पूर्णांक है } द्वारा परिभाषित संबंध R

उत्तर:
x – x = 0 जो कि एक पूर्णांक है।
⇒( x, x ) ∈ R, ∀ x ∈ Z
अतः R स्वतुल्य है।

यदि ( x, y ) ∈ R
⇒( x, y ) एक पूर्णांक है।
माना x – y = k [ k ∈ Z ]
⇒-( y – x ) = k
⇒ y – x = -k
⇒( y – x ) एक पूर्णांक है।
⇒ ( y, x ) ∈ R
अतः R सममित है।

यदि ( x, y ) तथा ( y, z ) ∈ R
⇒ ( x – y ) तथा ( y – z ) पूर्णांक हैं।
⇒ ( x – y ) + ( y – z ) = x – z पूर्णांक है।
अतः R संक्रामक है।

video explanation:

( v ) किसी विशेष समय पर किसी नगर के निवासियों के समुच्चय में निम्नलिखित संबंध R

( a ) R = { ( x, y ) : x तथा y एक ही स्थान पर कार्य करते हैं }

उत्तर:
x तथा x एक ही स्थान पर कार्य करते हैं।
⇒( x, x ) ∈ R
अतः R स्वतुल्य है।

यदि ( x, y ) ∈ R
⇒ x तथा y एक ही स्थान पर कार्य करते हैं।
⇒ y तथा x एक ही स्थान पर कार्य करते हैं।
⇒ ( y, x ) ∈ R
अतः R सममित है।

यदि ( x, y ) तथा ( y, z ) ∈ R
⇒ x तथा y एक ही स्थान पर कार्य करते हैं तथा y तथा z एक ही स्थान पर कार्य करते हैं।
⇒ x तथा z एक ही स्थान पर कार्य करते हैं।
⇒ ( x, z ) ∈ R
अतः R संक्रामक है।

video explanation:

( b ) R = { ( x, y ) : x तथा y एक ही मोहल्ले में रहते हैं }

उत्तर:
x तथा x एक ही मोहल्ले में रहते हैं।
⇒( x, x ) ∈ R
अतः R स्वतुल्य है।

यदि ( x, y ) ∈ R
⇒ x तथा y एक ही मोहल्ले में रहते हैं।
⇒ y तथा x एक ही मोहल्ले में रहते हैं।
⇒ ( y, x ) ∈ R
अतः R सममित है।

यदि ( x, y ) तथा ( y, z ) ∈ R
⇒ x तथा y एक ही मोहल्ले में रहते हैं तथा y तथा z एक ही मोहल्ले में रहते हैं।
⇒ x तथा z एक ही मोहल्ले में रहते हैं।
⇒ ( x, z ) ∈ R
अतः R संक्रामक है।

video explanation:

( c ) R = { ( x, y ) : x, y से ठीक-ठीक 7 सेमी लंबा है }

उत्तर:
x, x से ठीक-ठीक 7 सेमी लंबा नहीं है, क्योंकि कोई भी स्वयं से लंबा नहीं हो सकता।
⇒( x, x ) ∉ R
अतः R स्वतुल्य नहीं है।

यदि ( x, y ) ∈ R
⇒ x, y से ठीक-ठीक 7 सेमी लंबा है।
⇒ y, x से ठीक-ठीक 7 सेमी छोटा है।
⇒ y, x से ठीक-ठीक 7 सेमी लंबा नहीं है।
⇒ ( y, x ) ∉ R
अतः R सममित नहीं है।

यदि ( x, y ) तथा ( y, z ) ∈ R
⇒ x, y से ठीक-ठीक 7 सेमी लंबा है तथा y, z से ठीक-ठीक 7 सेमी लंबा है।
⇒ x, z से ठीक-ठीक 14 सेमी लंबा है।
⇒ x, z से ठीक-ठीक 7 सेमी लंबा नहीं है।
⇒ ( x, z ) ∉ R
अतः R संक्रामक नहीं है।

video explanation:

( d ) R = { ( x, y ) : x, y की पत्नी है }

उत्तर:
x, x की पत्नी नहीं है, क्योंकि कोई भी स्वयं की पत्नी नहीं हो सकता।
⇒( x, x ) ∉ R
अतः R स्वतुल्य नहीं है।

यदि ( x, y ) ∈ R
⇒ x, y की पत्नी है।
⇒ y, x का पति है।
⇒ y, x की पत्नी नहीं है।
⇒ ( y, x ) ∉ R
अतः R सममित नहीं है।

यदि ( x, y ) तथा ( y, z ) ∈ R
⇒ x, y की पत्नी है तथा y, z की पत्नी है। लेकिन यह असंभव है कि एक ही व्यक्ति किसी की पत्नी हो और किसी का पति।
⇒ y, z की पत्नी नहीं है।
⇒ ( y, z ) ∉ R
और जब R के अवयव ( x, y ) के लिए ( y, z ) नहीं है।
अतः R संक्रामक है।

video explanation:

( e ) R = { ( x, y ) : x, y के पिता है }

उत्तर:
x, x के पिता नहीं है, क्योंकि कोई भी स्वयं का पिता नहीं हो सकता।
⇒( x, x ) ∉ R
अतः R स्वतुल्य नहीं है।

यदि ( x, y ) ∈ R
⇒ x, y के पिता है।
⇒ y, x के पुत्र या पुत्री है।
⇒ y, x के पिता नहीं है।
⇒ ( y, x ) ∉ R
अतः R सममित नहीं है।

यदि ( x, y ) तथा ( y, z ) ∈ R
⇒ x, y के पिता है तथा y, z के पिता है।
⇒ x, z के दादा हैं।
⇒ x, z के पिता नहीं है।
⇒ ( x, z ) ∉ R
अतः R संक्रामक नहीं है।

video explanation:

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